O que é consonância?

Na nota anterior, descobrimos como o som funciona. Vamos repetir esta fórmula:

SOM = TOM DE FUNDO + TODOS OS OVERTONS MÚLTIPLOS

Além disso, como os japoneses admiram as flores de cerejeira, também admiraremos o gráfico de resposta de frequência – a característica amplitude-frequência do som (Fig. 1):

Lembre-se de que o eixo horizontal representa o tom (frequência de oscilação) e o eixo vertical representa o volume (amplitude).

Cada linha vertical é um harmônico, o primeiro harmônico é geralmente chamado de fundamental. Os harmônicos são organizados da seguinte forma: o segundo harmônico é 2 vezes maior que o tom fundamental, o terceiro é três, o quarto é quatro e assim por diante.

Por uma questão de brevidade, em vez de “frequência nª harmônica” diremos simplesmente “nª harmônica”, e em vez de “frequência fundamental” – “frequência do som”.

Então, olhando para a resposta de frequência, não será difícil para nós respondermos à pergunta, o que é consonância.

Como contar até o infinito?

Consonância significa literalmente “co-som”, som conjunto. Como dois sons diferentes podem soar juntos?

Vamos desenhá-los no mesmo gráfico um abaixo do outro (Fig. 2):

Aqui está a resposta: alguns dos harmônicos podem coincidir em frequência. É lógico supor que quanto mais frequências coincidentes, mais sons “comuns” têm e, consequentemente, mais consonância no som de tal intervalo. Para ser completamente preciso, é importante não apenas o número de harmônicos correspondentes, mas qual a proporção de todos os harmônicos que soam coincidentes, ou seja, a razão entre o número de correspondências e o número total de harmônicos soando.

Obtemos a fórmula mais simples para calcular a consonância:

onde N_sovp é o número de harmônicos correspondentes,  N_comum é o número total de harmônicos sonoros (o número de diferentes frequências sonoras), e contras e é a nossa consonância desejada. Para ser matematicamente correto, é melhor chamar a quantidade uma medida de consonância de frequência.

Bem, o assunto é pequeno: você precisa calcular N_sovp и N_comum, divida um pelo outro e obtenha o resultado desejado.

O único problema é que tanto o número total de harmônicos quanto o número de harmônicos correspondentes são infinitos.

O que acontece se dividirmos infinito por infinito?

Vamos mudar a escala do gráfico anterior, “afastar” dele (Fig. 3)

Vemos que os harmônicos correspondentes ocorrem repetidas vezes. A imagem é repetida (Fig. 4).

Essa repetição nos ajudará.

Basta calcular a razão (1) em um dos retângulos pontilhados (por exemplo, no primeiro), então, devido às repetições e em toda a linha, essa razão permanecerá a mesma.

Para simplificar, a frequência do tom fundamental do primeiro som (mais baixo) será considerada igual à unidade, e a frequência do tom fundamental do segundo som será escrita como uma fração irredutível  .

Observemos entre parênteses que nos sistemas musicais, via de regra, são precisamente os sons que são usados, cuja proporção de frequências é expressa por alguma fração  . Por exemplo, o intervalo de uma quinta é a razão  , quartos -  , tritão—   etc.

Vamos calcular a razão (1) dentro do primeiro retângulo (Fig. 4).

É bastante fácil contar o número de harmônicos correspondentes. Formalmente, existem dois deles, um pertence ao som inferior, o segundo – ao superior, na Fig. 4 eles estão marcados em vermelho. Mas ambos os harmônicos soam na mesma frequência, respectivamente, se contarmos o número de frequências correspondentes, haverá apenas uma dessas frequências.

Qual é o número total de frequências de som?

Vamos discutir assim.

Todos os harmônicos do som inferior são organizados em números inteiros (1, 2, 3, etc.). Assim que qualquer harmônico do som de cima for um número inteiro, ele coincidirá com um dos harmônicos de baixo. Todos os harmônicos do som superior são múltiplos do tom fundamental , então a frequência n-th harmônico será igual a:

ou seja, será um número inteiro (já que m é um número inteiro). Isso significa que o som superior no retângulo tem harmônicos do primeiro (tom fundamental) ao n-oh, portanto, som n frequências.

Como todos os harmônicos do som grave estão localizados em números inteiros, e de acordo com (3), a primeira coincidência ocorre na frequência m, verifica-se que o som mais baixo dentro do retângulo dará m frequências sonoras.

Deve-se notar que a frequência coincidente m novamente contamos duas vezes: quando contamos as frequências do som superior e quando contamos as frequências do som inferior. Mas, na verdade, a frequência é uma e, para a resposta correta, precisaremos subtrair uma frequência “extra”.

O total de todas as frequências sonoras dentro do retângulo será:

Substituindo (2) e (4) na fórmula (1), obtemos uma expressão simples para calcular a consonância:

Para enfatizar a consonância de quais sons calculamos, você pode indicar esses sons entre colchetes contras:

Usando uma fórmula tão simples, você pode calcular a consonância de qualquer intervalo.

E agora vamos considerar algumas propriedades de consonância de frequência e exemplos de seu cálculo.

Propriedades e exemplos

Primeiro, vamos calcular as consonâncias para os intervalos mais simples e garantir que a fórmula (6) “funcione”.

Qual intervalo é o mais simples?

Definitivamente prima. Duas notas soam em uníssono. Em um gráfico ficará assim:

Vemos que absolutamente todas as frequências sonoras coincidem. Portanto, a consonância deve ser igual a:

Agora vamos substituir a razão pelo uníssono  na fórmula (6), obtemos:

O cálculo coincide com a resposta “intuitiva”, o que é de se esperar.

Tomemos outro exemplo em que a resposta intuitiva é igualmente óbvia – a oitava.

Em uma oitava, o som superior é 2 vezes mais alto que o inferior (de acordo com a frequência do tom fundamental), respectivamente, no gráfico ficará assim:

Pode-se ver pelo gráfico que cada segundo harmônico coincide, e a resposta intuitiva é: a consonância é de 50%.

Vamos calculá-lo pela fórmula (6):

E novamente, o valor calculado é igual ao “intuitivo”.

Se tomarmos a nota como o som mais baixo para e plote o valor de consonância para todos os intervalos dentro da oitava no gráfico (intervalos simples), obtemos a seguinte imagem:

As medidas mais altas de consonância estão na oitava, quinta e quarta. Historicamente, eles se referiam a consonâncias “perfeitas”. As terças menores e maiores, e a sexta menor e maior são um pouco mais baixas, esses intervalos são considerados consonâncias “imperfeitas”. Os demais intervalos têm um grau de consonância menor, tradicionalmente pertencem ao grupo de dissonâncias.

Agora listamos algumas propriedades da medida de consonância de frequência, que vêm da fórmula para seu cálculo:

1. Quanto mais complexa a proporção  (quanto mais número m и n), menos consoante o intervalo.

И m и n na fórmula (6) estão no denominador, portanto, à medida que esses números aumentam, a medida de consonância diminui.

2. A consonância ascendente do intervalo é igual à consonância descendente do intervalo.

Para obter um intervalo para baixo em vez de um intervalo para cima, precisamos na razão   trocar m и n. Mas na fórmula (6), absolutamente nada mudará com essa substituição.

3. A medida da consonância de frequência de um intervalo não depende de qual nota estamos construindo.

Se você deslocar ambas as notas pelo mesmo intervalo para cima ou para baixo (por exemplo, construir uma quinta não a partir de uma nota para, mas da nota re), então a razão  entre as notas não mudará e, consequentemente, a medida de consonância de frequência permanecerá a mesma.

Poderíamos dar outras propriedades de consonância, mas por enquanto vamos nos restringir a elas.

Física e letras

A Figura 7 nos dá uma ideia de como funciona a consonância. Mas é assim que realmente percebemos a consonância dos intervalos? Existem pessoas que não gostam de consonâncias perfeitas, mas as harmonias mais dissonantes parecem agradáveis?

Sim, essas pessoas certamente existem. E para explicar isso, dois conceitos devem ser distinguidos: consonância física и consonância percebida.

Tudo o que consideramos neste artigo tem a ver com consonância física. Para calculá-lo, você precisa saber como o som funciona e como as diferentes vibrações se somam. A consonância física fornece os pré-requisitos para a consonância percebida, mas não a determina 100%.

A consonância percebida é determinada de forma muito simples. Pergunta-se a uma pessoa se ela gosta dessa consonância. Se sim, então para ele é consonância; se não, é dissonância. Se lhe forem dados dois intervalos para comparação, podemos dizer que um deles parecerá à pessoa no momento mais consonante, o outro menos.

A consonância percebida pode ser calculada? Mesmo se assumirmos que é possível, esse cálculo será catastroficamente complicado, incluirá mais uma infinidade – a infinidade de uma pessoa: sua experiência, características auditivas e habilidades cerebrais. Esse infinito não é tão fácil de lidar.

No entanto, a investigação nesta área está em curso. Em particular, o compositor Ivan Soshinsky, que gentilmente fornece materiais de áudio para essas notas, desenvolveu um programa com o qual você pode construir um mapa individual da percepção de consonâncias para cada pessoa. Atualmente está sendo desenvolvido o site mu-theory.info, onde qualquer pessoa pode ser testada e conhecer as características de sua audição.

E, no entanto, se há uma consonância percebida, e ela difere da física, qual é o sentido de calcular esta última? Podemos reformular essa questão de forma mais construtiva: como esses dois conceitos se relacionam?

Estudos mostram que a correlação entre a consonância média percebida e a consonância física é da ordem de 80%. Isso significa que cada pessoa pode ter suas próprias características individuais, mas a física do som faz uma contribuição esmagadora para a definição de consonância.

É claro que a pesquisa científica nessa área ainda está no início. E como estrutura sonora, pegamos um modelo relativamente simples de múltiplos harmônicos, e o cálculo de consonância foi utilizado da forma mais simples – frequência, e não levou em conta as peculiaridades da atividade do cérebro no processamento do sinal sonoro. Mas o fato de que mesmo no âmbito de tais simplificações tenha sido obtido um grau muito alto de correlação entre teoria e experimento é muito encorajador e estimula mais pesquisas.

A aplicação do método científico no campo da harmonia musical não se limita ao cálculo de consonância, mas também produz resultados mais interessantes.

Por exemplo, com a ajuda do método científico, a harmonia musical pode ser representada graficamente, visualizada. Vamos falar sobre como fazer isso na próxima vez.

Autor – Roman Oleinikov